函数连续可导，在图像上是不是一眼就能看出来呢？

dst

在数学中，函数的连续可导意味着函数在某个区间上既连续又可导。它是一个典型的数学概念，但其背后却蕴含着更深刻的内涵。
连续可导函数的定义非常简单，即函数在定义域的每一个点都满足连续和可导的条件。连续性意味着函数在某个区间上没有断裂或跳跃，可导性则表示函数在这个区间上的导数存在。这两个条件相辅相成，共同构成了函数连续可导的特征。

连续性意味着函数在某个区间上没有断裂或跳跃，这个在图像上是不是一眼就能看出来。
可导性则表示函数在这个区间上的导数存在。也就是在这个区间上每个点都不能有折线，也就是不能“拐硬弯”。这好像也能在图像上一眼就能看出来。

nastasya

看你图像绘制精度和正规性了
有特殊情况 比如 对于连续性 有一段的结尾点不包含 下一段的起点包含  绘制图形时看上去是连续的 但是实际不连续  要是正规绘图 分界点要画一个圈
对于可导 拐点曲率半径可以很小 小到一定程度 除非要把图形局部放大 才能看的出来

dst

nastasya 发表于 2023-12-11 13:55
看你图像绘制精度和正规性了
有特殊情况 比如 对于连续性 有一段的结尾点不包含 下一段的起点包含  绘制图 ...

你的意思我理解了。我的想法是：函数的表达式给出了，而图是自己大致的想象，只是为了判定函数是否连续可导。这样用图像好像更容易判定！是不是呢？

nastasya

图像只是参考和辅助或者是必要条件  对于函数的特性上有定义和充分条件 ,  可以说 如果连续可导 图形上是光滑且连续的
但是 说图形看到光华连续 就反着推连续可导 是有问题的(对于做题和考试而言)
函数图形 关心的某一个区间内或某一点 看到图形是连续光滑的  且希望是连续可导 那就有进一步证明得到确定结论的必要了,毕竟图形是有局限性的 这个是要求严谨性的前提下
如果对严谨性要求不高 直接就根据图形得到结论也不是不可以  甚至可以把额外条件再给加到函数定义或前提里面去 (就是那个意思 随便说的 因为实际应用中不可能无限的严谨和理想 是有取舍的, 类似的 高中做物理题 常见的"不考虑空气阻力" 之类的 或者 这个影响对于实际应用影响极小 可以忽略)

摸鱼胡乱讨论的 我也不是数学专业的 不过就是 工作相关需要一些基本高数知识而已 当初学的也不好

dst

nastasya 发表于 2023-12-11 14:18
图像只是参考和辅助或者是必要条件  对于函数的特性上有定义和充分条件 ,  可以说 如果连续可导 图形上是光 ...

说的很有道理啊！我明白了。多谢。确实是，数学本身就是要求严谨的，我非要偷奸取巧，有的舍本逐末了。

mailthon

很多看不出来的，比如两段不通曲率的曲线拼接，连接处很自然过度，人眼不好分辨。

dst

mailthon 发表于 2023-12-12 08:34
很多看不出来的，比如两段不通曲率的曲线拼接，连接处很自然过度，人眼不好分辨。 ...

说的是，我异想天开了